Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $1$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right)$. Tính khoảng cách $d$ từ $A$ đến $\left( {SCD} \right)$.

• A. $d = 1.$ 
• B. $d = \sqrt 2 .$
• C. $d = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.$
• D. $d = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}.$

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, suy ra $SH \bot AB \Rightarrow $$SH \bot \left( {ABCD} \right).$

Gọi $E$ là trung điểm $CD$; $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $SE$.

Ta có : \(HE \bot CD,SH \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right)\) \( \Rightarrow CD \bot HK\), mà \(HK \bot SE\) nên \(HK \bot \left( {SCD} \right)\)

Do $AH$//$CD$ nên $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right).$

Khi đó $d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }}.$

Vậy $d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = HK = \dfrac{{\sqrt {21} }}{7}.$

Đáp án : D