Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC).

• A. $d = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$
• B. $d = a.$
• C. $d = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.$
• D. $d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

Áp dụng công thức tính đường cao h ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có cạnh góc vuông a, b: \(\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi M là trung điểm BC, khi đó AM là đường trung tuyến (đồng thời là đường cao) của tam giác đều ABC.

Suy ra $AM \bot BC$ và $AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Gọi K là hình chiếu của A trên SM, suy ra $AK \bot SM$ (1)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AK$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AK \bot \left( {SBC} \right)$ nên $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK.$

Xét $\Delta \,SAM$: \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\).

Suy ra $AK = \dfrac{{SA.AM}}{{\sqrt {S{A^2} + A{M^2}} }} = \dfrac{{3a}}{{\sqrt {15} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$

Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}.$

Đáp án : A