Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng $a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với mặt đáy một góc $60^\circ $. Tính khoảng cách \(d\) từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$.

• A. \(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)
• B. $d = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.$
• C. $d = a.$
• D. \(d = a\sqrt 3 .\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xác định \({60^0} = \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} \Rightarrow SA = AB.\tan \widehat {SBA} = a\sqrt 3 \). Ta có \(AD\parallel BC \Rightarrow AD\parallel \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\) Kẻ \(AK \bot SB\,\,\,\,\left( 1 \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\)

Khi đó \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Vậy \(d\left( {D;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Đáp án : A