Đề bài

Phương trình ${x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0$ có các nghiệm đều là nghiệm của phương trình ${x^4} + b{x^2} + c = 0\,\,\left(  *  \right).$ Tìm $b,c$ và giải phương trình $\left(  *  \right)$ ứng với $b,c$ vừa tìm được.

• A. $b =  - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.$
• B. $b =  - 5;\,\,c = 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.$
• C. $b = 5;\,\,c =  - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.$
• D. $b = 5;\,\,c =  - 6\,\,;\,\,S = \left\{ { \pm 2;\,\, \pm 3} \right\}.$

Phương pháp giải

Giải phương trình đã cho, sau đó thay các giá trị của nghiệm vào phương trình $\left(  *  \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình ${x^2} - \left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 6  = 0$$\Leftrightarrow \left( {x - \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 3 } \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..$

Ta có $x = \sqrt 2$ và $x = \sqrt 3$ là các nghiệm của $\left( * \right)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\sqrt 2 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + c = 0\\{\left( {\sqrt 3 } \right)^4} + b{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2b + c =  - 4\\3b + c =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b =  - 5\\c = 6\end{array} \right..$

Thay $\left\{ \begin{array}{l}c = 6\\b =  - 5\end{array} \right.$ vào $\left(  *  \right)$: ${x^4} - 5{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 3 \\x = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \end{array} \right..$

Vậy với $b =  - 5;\,\,c = 6$ ta được phương trình $\left( * \right)$ có tập nghiệm: $S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ;\,\, \pm \sqrt 3 } \right\}.$

Đáp án : A