Đề bài

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat B = 60^\circ $, đường trung tuyến $AM$, đường cao $CH$. Vẽ đường tròn ngoại tiếp $BHM$. Kết luận nào đúng khi nói về các cung $HB;MB;MH$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHB$ ?

• A. Cung  $HB$ nhỏ nhất 
• B. Cung  $MB$ lớn nhất
• C. Cung  $MH$ nhỏ nhất
• D. Ba cung bằng nhau

Phương pháp giải

Sử dụng mối liên hệ giữa cung và dây

Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:

Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì trong một đường tròn hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên ta đi so sánh các đoạn thẳng $HB;MB;MH$.

Xét tam giác $BCH$ vuông tại $H$ có $\cos B = \dfrac{{HB}}{{BC}} \Leftrightarrow \dfrac{{HB}}{{BC}} = \cos 60^\circ  = \dfrac{1}{2} \Rightarrow HB = \dfrac{{BC}}{2} = BM = CM$

Xét tam giác $HBM$ có $BM = BH$ (cmt) và $\widehat {ABC} = 60^\circ $ nên $\Delta HBM$ là tam giác đều

$ \Rightarrow BM = BH = HM$

Suy ra ba cung $HB;MB;MH$ bằng nhau.

Đáp án : D