Đề bài

Cho \(\left( {O;R} \right)\) và dây cung \(MN = R\sqrt 3 .\) Kẻ \(OI\) vuông góc với \(MN\) tại $I$ .

Câu 1

Tính độ dài \(OI\) theo $R$ .

A.

$\dfrac{{R\sqrt 3 }}{3}$

B.

$\dfrac{R}{{\sqrt 2 }}$

C.

$\dfrac{R}{3}$

D.

$\dfrac{R}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải

Sử dụng liên hệ giữa đường kính và dây cung.

Sử dụng định lý Pytago.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét $\left( O \right)$ có $OI \bot MN$ tại $I$ nên $I$ là trung điểm của dây $MN$ (đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó) $ \Rightarrow MI = IN=\dfrac{MN}2 = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}$

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$, theo định lý Pytago ta có $O{I^2} = O{M^2} - M{I^2}$

$\Rightarrow OI = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}} \right)}^2}} $$= \sqrt {{R^2} - \dfrac{{ 3 R^2}}{4}}  =\sqrt { \dfrac{ R^2}{4}}= \dfrac{R}{2}$

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Tính số đo cung nhỏ $MN.$ 

A.

$120^\circ $

B.

$150^\circ $

C.

$90^\circ $

D.

$145^\circ $

Đáp án : A

Phương pháp giải

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn và số đo cung

“Số đo cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó”

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét tam giác $OIM$ vuông tại $I$ ta có $\sin \widehat {MOI} = \dfrac{{MI}}{{MO}} = \dfrac{{\sqrt 3 R}}{2}:R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \widehat {MOI} = 60^\circ $

$\Delta MON$ cân tại $O$ có $OI$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên $\widehat {MON} = 2\widehat {MOI} = 2.60^\circ  = 120^\circ $

Suy ra số đo cung nhỏ $MN$ là $120^\circ $.

---