Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai dây $AB,CD$ vuông góc với nhau ở $M$. Biết $AB = 14\,cm;\,CD = 12\,cm;\,MC = 2\,cm.$ Bán kính $R$ và khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $CD$ lần lượt là

• A. $8\,cm;\sqrt {29} \,cm$
• B. $\sqrt {65} \,cm;\sqrt {29} \,cm$
• C. $\sqrt {29} \,cm;\sqrt {65} \,cm$
• D. $\sqrt {29} \,cm;\,8\,cm$

Phương pháp giải

Kẻ các đường vuông góc từ tâm đến dây. Sử dụng mối liên hệ giữa dây và đường kính và tính chất hình chữ nhật để suy ra khoảng cách.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Lấy $E$; $F$ lần lượt là trung điểm của hai dây $AB$ và $CD$. Khi đó 

\(OE \bot AB;\,OF \bot AC\) lại có \(\widehat {FME} = 90^\circ \) nên \(OEMF\) là hình chữ nhật. Suy ra $OE=MF=CF-MC=4 \,\ cm.$

Xét đường tròn tâm $\left( O \right)$,

Có $OE = \,4\,cm$, $E$ là trung điểm của $AB$ nên $AE = \dfrac{{14}}{2} = 7cm$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OEA$ ta có $OA = \sqrt {A{E^2} + O{E^2}}  = \sqrt {65} $ nên $R = \sqrt {65} $

Lại có $OD = \sqrt {65} \,\ cm ;FD = 6 \,\ cm$ nên áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $OFD$ ta có

$OF = \sqrt {O{D^2} - F{D^2}}  = \sqrt {29} \,\ cm$. Do đó khoảng cách từ tâm đến dây $CD$ là $\sqrt {29} $$cm$ .

Đáp án : B