Đề bài

Cho \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\), góc giữa \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng $120^\circ $. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?

• A. \(\left| {\vec a + \vec b} \right| = \sqrt {19} \) 
• B. \(\left| {\vec a - \vec b} \right| = 7\)
• C. \(\left| {\vec a - 2\vec b} \right| = \sqrt {139} \)
• D. \(\left| {\vec a + 2\vec b} \right| = 9\)

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức bình phương của tổng, hiệu và công thức tích vô hướng của hai véc tơ để tính độ dài các véc tơ ở mỗi đáp án.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đáp án A: \({\left| {\vec a + \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\vec a^2} + {\vec b^2} + 2\vec a.\vec b \) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) \( = {3^2} + {5^2} + 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) = 19\)

Do đó \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {19} \)

Đáp án B: \({\left| {\vec a - \vec b} \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2}\)\( = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \overrightarrow b  + {\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} - 2.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {5^2} = 49\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| = 7\) nên B đúng.

Đáp án C: \({\left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right)^2}\) \( = {\overrightarrow a ^2} - 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} - 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} - 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 139\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  - 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {139} \) nên C đúng.

Đáp án D: \({\left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right)^2}\) \( = {\overrightarrow a ^2} + 4\overrightarrow a \overrightarrow b  + 4{\overrightarrow b ^2}\) \( = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 4\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) + 4{\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\) \( = {3^2} + 4.3.5.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + {4.5^2} = 79\) \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \sqrt {79} \) nên D sai.

Đáp án : D