Đề bài

Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, \(IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (I, J lần lượt là trung điểm của BC và AD). Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là

• A. \(30^\circ \).
• B. \(45^\circ \).
• C. \(60^\circ \).
• D. \(90^\circ \).

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất:

\(\left\{ \begin{array}{l}a//a'\\b//b'\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {a,b} \right)} = \widehat {\left( {a',b'} \right)}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AC, BD.

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{MI = NI = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}CD = \frac{a}{2}}\\\begin{array}{l}MI//AB//NJ\\MJ//CD//IN\end{array}\end{array}} \right. \Rightarrow MINJ\) là hình thoi.

Gọi O là giao điểm của MN và IJ.

Ta có: \(\widehat {MIN} = 2\widehat {MIO}\), \(IO = \frac{{IJ}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Xét \(\Delta MIO\) vuông tại O, ta có:

\(\cos \widehat {MIO} = \frac{{IO}}{{MI}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{a}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \widehat {MIO} = {30^o} \Rightarrow \widehat {MIN} = {60^o}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AB//IM\\CD//IN\end{array} \right. \Rightarrow \left( {AB,CD} \right) = \left( {IM,IN} \right) = \widehat {MIN} = {60^o}\).

Đáp án : C

Chú ý

Các em cũng có thể tính $\widehat {JIN}$ bằng cách áp dụng định lý Cô sin trong tam giác JIN như sau:

$\cos \widehat {JIN} = \frac{{I{J^2} + I{N^2} - J{N^2}}}{{2IJ.IN}} $

$= \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}}}= \frac{{\sqrt 3 }}{2} $

$\Rightarrow \widehat {JIN} = {30^o}$.