Đề bài

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất  \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right.\)

• A. \(m = 4\)
• B. \(m = - 2\)
• C. \(m = 2\)
• D. \(m = 1\)

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\)
\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 8\\\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} = m\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {y^2} = mxy\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + {(8 - x)^2} = mx(8 - x)\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\{x^2} + 64 - 16x + {x^2} = 8mx - m{x^2}\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 8 - x\\(m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\end{array} \right.\)

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi phương trình \((m + 2){x^2} - 8x(m + 2) + 64 = 0\) \((I)\) có nghiệm duy nhất thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8(y \ne 0)\)

+ Nếu \(m=-2\) thì \((-2 + 2){x^2} - 8x(-2 + 2) + 64 = 0 + 0 + 64 = 64 \ne 0\) nên hệ phương trình vô nghiệm với \(m = - 2\)

+ Nếu \(m \ne - 2 \) thì (I) là phương trình bậc hai một ẩn, để phương trình này có nghiệm duy nhất thì \({\Delta'} = 0\).

Suy ra \(16{(m + 2)^2} - 64(m + 2) = 0\)

\({(m + 2)^2} - 4(m + 2) = 0\)

\({(m + 2)}(m + 2 - 4) = 0\)

\({(m + 2)}(m - 2) = 0\)

Suy ra \(m + 2 = 0\) hoặc \(m + 2 = 4\)

\(m = - 2\) hoặc \(m = 2\)

Do \(m \ne - 2\) nên chỉ có \(m = 2\) là thỏa mãn để phương trình \((I)\) có nghiệm duy nhất.

Thay m vào (I), ta được: 

\((2 + 2){x^2} - 8x(2 + 2) + 64 = 0\)

\(4{x^2} - 32x + 64 = 0\)

\((2x - 8)^2 = 0\) suy ra \(x = 4\)

Nghiệm của phương trình (I) là \({x_0} = 4\) (thỏa mãn \(x \ne 0;x \ne 8\))

Với \(x = 4\) thay vào ta tìm được \(y=4\)

Vậy \(m = 2\) là giá trị cần tìm.

Đáp án : C