Đề bài

Cho hệ phương trình $\left\{ \matrix{ x + my = 1 \hfill \cr mx - y =  - m \hfill \cr}  \right.$

Hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào giá trị của m là:

• A. $2x + y = 3$
• B. $\displaystyle {x \over y} = 3$
• C. $xy = 3$
• D. ${x^2} + {y^2} = 1$

Phương pháp giải

Tìm nghiệm của hệ phương trình theo m. Sau đó biến đổi m theo x và y. Từ đó ta có hệ thức không phụ thuộc vào m của x và y.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\displaystyle\left\{ \matrix{x + my = 1 \hfill \cr mx - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr m(1 - my) - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 1 - my \hfill \cr m - {m^2}y - y = - m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = 1 - my \hfill \cr y({m^2} + 1) = 2m \hfill \cr} \right.$
Do $\displaystyle{m^2} + 1 \ge 1 \Rightarrow y = {{2m} \over {{m^2} + 1}} \Rightarrow x = 1 - my = 1 - {{2{m^2}} \over {{m^2} + 1}} = {{1 - {m^2}} \over {{m^2} + 1}}$
Xét $\displaystyle{x^2} + {y^2} = {{4{m^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} + {{{{(1 - {m^2})}^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{4{m^2} + 1 - 2{m^2} + {m^4}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{{m^4} + 2{m^2} + 1} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = {{{{(1 + {m^2})}^2}} \over {{{(1 + {m^2})}^2}}} = 1$
Vậy $\displaystyle{x^2} + {y^2} = 1$ không phụ thuộc vào giá trị của m .

Đáp án : D