Đề bài

Cho tứ diện $ABCD$  có các cạnh đều bằng \(a\). Hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

• A. $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow 0 $ 
• B. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
• C. $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} $ 
• D. $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0$

Phương pháp giải

Xét tính đúng, sai của từng đáp án, sử dụng các quy tắc cộng, trừ véc tơ và nhân vô hướng hai véc tơ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương án A:

$\overrightarrow {{\rm{AD}}}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {DA}  = \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BD}  \ne \overrightarrow 0 $ nên A sai

Phương án B:$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = a.a.\cos {\rm{6}}{{\rm{0}}^0}{\rm{ = }}{\dfrac{a}{2}^2}$ nên B sai

Phương án C: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC} ) = 0 \Leftrightarrow {\overrightarrow {AC} ^2} = 0$ nên C sai.

Phương án D: Do tứ diện \(ABCD\) đều nên \(AB \bot CD\) hay \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\).

Đáp án : D

Chú ý

Các em có thể dễ dàng chứng minh tứ diện đều \(ABCD\) có \(AB \bot CD\) bằng cách gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) và chứng minh \(CD \bot \left( {ABM} \right)\), từ đó chứng minh được các cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc.