Đề bài

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

• A. $\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\,\,$
• B. $\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\,\,$
• C. $\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$
• D. ${\tan ^2}\alpha  - 1 = {\cos ^2}\alpha $

Phương pháp giải :

Dựa vào khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết :

Giả sử ta có tam giác vuông có các cạnh và góc $\alpha $ như hình vẽ.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha =\frac{b}{a},\cos \alpha =\frac{c}{a},\tan \alpha =\frac{b}{c},\cot \alpha =\frac{c}{b}$.

Ta có:

$\tan \alpha =\frac{b}{c}=\frac{b}{a}.\frac{a}{c}=\frac{b}{a}:\frac{c}{a}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ nên A đúng.

$\cot \alpha =\frac{c}{b}=\frac{c}{a}.\frac{a}{b}=\frac{c}{a}:\frac{b}{a}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ nên B đúng.

$\tan \alpha .\cot \alpha =\tan \alpha .\frac{1}{\tan \alpha }=1$ nên C đúng.

${{\tan }^{2}}\alpha -1={{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}-1=\frac{{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\ne {{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\alpha $ nên D sai.

Từ đây, ta có các công thức lượng giác mở rộng sau:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\tan \alpha .\cot \alpha =1$

Đáp án : D