Đề bài

Cho $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định sai.

• A. $\tan \alpha  = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\,\,$
• B. $\cot \alpha  = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\,\,$
• C. $\tan \alpha .\cot \alpha  = 1$
• D. ${\tan ^2}\alpha  - 1 = {\cos ^2}\alpha$

Phương pháp giải

Dựa vào khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử ta có tam giác vuông có các cạnh và góc $\alpha$ như hình vẽ.

Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn, ta có:

$\sin \alpha =\frac{b}{a},\cos \alpha =\frac{c}{a},\tan \alpha =\frac{b}{c},\cot \alpha =\frac{c}{b}$.

Ta có:

$\tan \alpha =\frac{b}{c}=\frac{b}{a}.\frac{a}{c}=\frac{b}{a}:\frac{c}{a}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ nên A đúng.

$\cot \alpha =\frac{c}{b}=\frac{c}{a}.\frac{a}{b}=\frac{c}{a}:\frac{b}{a}=\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ nên B đúng.

$\tan \alpha .\cot \alpha =\tan \alpha .\frac{1}{\tan \alpha }=1$ nên C đúng.

${{\tan }^{2}}\alpha -1={{\left( \frac{b}{c} \right)}^{2}}-1=\frac{{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}{{{c}^{2}}}\ne {{\left( \frac{c}{a} \right)}^{2}}={{\cos }^{2}}\alpha$ nên D sai.

Từ đây, ta có các công thức lượng giác mở rộng sau:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha };\tan \alpha .\cot \alpha =1$

Đáp án : D