Đề bài

Cho hai tam giác vuông $OAB$ và $OCD$ như hình vẽ. Biết $OB = CD = a$, $AB = OD = b.$ Tính $\cos \angle AOC$ theo $a$ và $b$.

• A. $\dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}$.
• B. $\dfrac{{{b^2} - {a^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$.
• C. $1$.
• D. $\dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{a^2} + {b^2}}}$.

Phương pháp giải

Tách $\angle AOC = \angle AOB - \angle COD$. Áp dụng công thức cộng lượng giác và Pitago để tính $\cos \angle AOC$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét $\Delta OAB$ và $\Delta COD$ có:

$\begin{array}{l}\angle OBA = \angle CDO = {90^o}\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\OB = CD\,\,\,\left( {gt} \right)\\AB = OD\,\,\,\,\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OAB = \Delta COD\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\end{array}$

$\Rightarrow OA = OC$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow OA.OC = O{A^2} = O{B^2} + A{B^2} = {a^2} + {b^2}$ (Định lý Pytago)

$\begin{array}{l}\cos \angle AOC = \cos \left( {\angle AOB - \angle COD} \right) = \cos \angle AOB\cos \angle COD + \sin \angle AOB\sin \angle COD\\ = \dfrac{{OB}}{{OA}}.\dfrac{{OD}}{{OC}} + \dfrac{{AB}}{{OA}}.\dfrac{{CD}}{{OC}} = \dfrac{{OB.OD + AB.CD}}{{OA.OC}} = \dfrac{{ab + ab}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{2ab}}{{{a^2} + {b^2}}}.\end{array}$

Đáp án : A