Đề bài

Gọi \(S\) là tập hợp các số tự nhiên \(n\) có 4 chữ số thỏa mãn \({\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\). Số phần tử của \(S\) là:

• A. \(8999\)
• B. \(2019\)       
• C. \(1010\)       
• D. \(7979\)

Phương pháp giải

- Lấy \(\ln\) hai vế bất phương trình.

- Biến đổi và xét hàm đặc trưng, chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.

- Dựa vào điều kiện đề bài chặn khoảng giá trị của \(f(n)\), từ đó đếm số giá trị \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow \ln {\left( {{2^n} + {3^n}} \right)^{2020}} < \ln {\left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)^n}\\ \Leftrightarrow 2020\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right) < n\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {{2^n} + {3^n}} \right)}}{n} < \dfrac{{\ln \left( {{2^{2020}} + {3^{2020}}} \right)}}{{2020}}\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{x}\,\,\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)'}}{{{2^x} + {3^x}}}.x - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{2^x}\ln 2 + {3^x}\ln 3} \right)x - \left( {{2^x} + {3^x}} \right).\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right) + {3^x}\ln 3.x - {3^x}\ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right) + {3^x}\left( {x\ln 3 - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right)}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\\f'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\left[ {\ln {2^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right] + {3^x}\left[ {\ln {3^x} - \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)} \right]}}{{{x^2}\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}}\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{2^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {2^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\\{3^x} < {2^x} + {3^x} \Rightarrow \ln {3^x} < \ln \left( {{2^x} + {3^x}} \right)\end{array} \right.\)  \( \Rightarrow f'\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in {\mathbb{N}^*}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \({\mathbb{N}^*}\).

Lại có: \(f\left( n \right) < f\left( {2020} \right) \Leftrightarrow n > 2020\).

Kết hợp điều kiện đề bài ta có \(2020 < n \le 9999,\,\,n \in {\mathbb{N}^*}\).

Vậy có \(\dfrac{{9999 - 2021}}{1} + 1 = 7979\) giá trị của \(n\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án : D