Đề bài

Cho biểu thức: \(A = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}\) và \(B = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}} + \dfrac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{a - 4}}\) (ĐKXĐ: \(a > 0;a \ne 4\) )

Câu 1

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(a = 16\).

A.
\(1\)
B.

\(\dfrac{1}{2}\)

C.

\(\dfrac{1}{3}\)

D.
\( - 1\)

Đáp án : B

Phương pháp giải

Thay \(a = 1\,6\,\,\,\left( {tmđk} \right)\) vào để tính giá trị biểu thức \(A\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Thay \(a = 16\,\,\,\left( {tmdk} \right)\) vào \(A\)ta được:
\(A = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }} = \dfrac{{16 - 4}}{{16 + 2\sqrt {16} }} = \dfrac{{12}}{{16 + 2.4}} = \dfrac{{12}}{{24}} = \dfrac{1}{2}\)
Vậy khi \(a = 16\) thì \(A = \dfrac{1}{2}.\)

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Rút gọn biểu thức \(B.\)

A.

\(B = \dfrac{{a + 5\sqrt a }}{{a - 4}}.\)

B.

\(B = \dfrac{{a - 7\sqrt a }}{{\sqrt a - 2}}.\)

C.

\(B = \dfrac{{a - 5\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}}.\)

D.

\(B = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)

Đáp án : D

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu số rồi rút gọn biểu thức

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{a - 4}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a }}{{\sqrt a  - 2}} + \dfrac{{\sqrt a  - 1}}{{\sqrt a  + 2}} - \dfrac{{5a + 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5\sqrt a \left( {\sqrt a  + 2} \right) + \left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right) - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{5a + 10\sqrt a  + a - 3\sqrt a  + 2 - 5a - 2}}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 2} \right)}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\end{array}\)

Vậy \(B = \dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}.\)

---

Câu 3

Tìm các số hữu tỉ \(a\) để biểu thức \(P = A.B\) có giá trị nguyên.

A.
\(a = 9\)
B.

\(a = \dfrac{1}{2}\)

C.

\(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{2}\)

D.

\(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải

Rút gọn \(P.\)

Đánh giá tập giá trị của biểu thức \(P\) sau đó tìm các giá trị nguyên của \(P\) rồi suy ra \(a.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 4.\)
\(P = A.B = \dfrac{{a - 4}}{{a + 2\sqrt a }}.\dfrac{{a + 7\sqrt a }}{{a - 4}}\)\( = \dfrac{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 7} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 2} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = \dfrac{{\sqrt a + 2 + 5}}{{\sqrt a + 2}}\)\( = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} > 1\)
Ta có: với \(a > 0 \Rightarrow \sqrt a > 0 \Rightarrow \sqrt a + 2 > 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < \dfrac{5}{2}\\ \Rightarrow P = 1 + \dfrac{5}{{\sqrt a + 2}} < 1 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow 1 < P < \dfrac{7}{2}\end{array}\)
Mà \(P \in \mathbb{Z} \Rightarrow P = \left\{ {2;\,\,3} \right\}.\)
+) Với \(P = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\left( {\sqrt a + 2} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 2\sqrt a + 4\)\( \Leftrightarrow \sqrt a = 3 \Leftrightarrow a = 9\,\,\,\left( {tm} \right).\)
+) Với \(P = 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt a + 7}}{{\sqrt a + 2}} = 3\) \( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\left( {\sqrt a + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow \sqrt a + 7 = 3\sqrt a + 6\)\( \Leftrightarrow 2\sqrt a = 1 \Leftrightarrow \sqrt a = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{4}\,\,\,\left( {tm} \right).\)
Vậy \(a = 9\) và \(a = \dfrac{1}{4}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

---