Cho các biểu thức : \(P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {x \ge 0} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(P.\) Tìm các giá trị của \(x\) để \(P \ge \dfrac{1}{5}\).
-
A.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
-
B.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
C.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 2\)
-
D.
\(P = \dfrac{1}{\sqrt{x} + 1}\,\,;\,\,0 \le x \le 4\)
Quy đồng mẫu các phân thức, rút gọn biểu thức đã cho.
Giải bất phương trình \(P \ge \dfrac{1}{5},\) tìm \(x.\) Đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
Điều kiện: \(x \ge 0.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{3\sqrt x }}{{x\sqrt x + 1}} - \dfrac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}}} \right):\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\\\,\,\,\, = \left[ {\dfrac{{3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}} + \dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{\sqrt x + 3}}{{x - \sqrt x + 1}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{3\sqrt x - x - \sqrt x + x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}\\\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}.\dfrac{{x - \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} = \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}}.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{5} \\ \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} \ge \dfrac{1}{5}\\ \dfrac{1}{{\sqrt x + 3}} - \dfrac{1}{5} \ge 0 \\ \dfrac{{5 - \sqrt x - 3}}{{5\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \ge 0\\ \dfrac{{2 - \sqrt x }}{{5\left( {\sqrt x + 3} \right)}} \ge 0 \\ 2 - \sqrt x \ge 0\\ \sqrt x \le 2 \\ x \le 4\end{array}\)
Vậy \(0 \le x \le 4\) thỏa mãn bài toán.
Đáp án : A
Danh sách bình luận