Tính giá trị biểu thức \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)
-
A.
\(1 - \sqrt {2021} \)
-
B.
\(\sqrt {2021} - 1\)
-
C.
\(\dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{\sqrt {2019} - 1}}{2}\)
- Áp dụng: \(\dfrac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{a - b}}\) với \(a , b>0\)
Ta có:
\(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} \)\(+ ... + \dfrac{1}{{\sqrt {2019} + \sqrt {2021} }}\)\(= \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}} \)\(+ \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\left( {\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right)}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{\left( {\sqrt {2019} + \sqrt {2021} } \right)\left( {\sqrt {2021} - \sqrt {2019} } \right)}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{{3 - 1}} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{5 - 3}} \)\(+ ....... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{{2021 - 2019}}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2} \)\(+ ...... + \dfrac{{\sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt 5 - \sqrt 3 + ....... + \sqrt {2021} - \sqrt {2019} }}{2}\)\( = \dfrac{{\sqrt {2021} - 1}}{2}\)
Đáp án : C
Các bài tập cùng chuyên đề
Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Cho $a,b$ là hai số không âm. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Kết quả của phép tính $\sqrt {2,5} .\sqrt {14,4} $ là?
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?
Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{ - 999}}{{111}}} $ là?
Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^4}.{{\left( {2a - 1} \right)}^2}} $ với $a \ge \dfrac{1}{2}$ ta được
Rút gọn biểu thức $\sqrt {{a^2}.{{\left( {2a - 3} \right)}^2}} $ với $ 0 \le a < \dfrac{3}{2}$ ta được
Rút gọn biểu thức $\sqrt {0,9.0,1.{{\left( {3 - x} \right)}^2}} $ với $x > 3$ ta được
Giá trị biểu thức $\sqrt {x - 2} .\sqrt {x + 2} $ khi $x = \sqrt {29} $ là
Rút gọn biểu thức $E = \dfrac{{a - b}}{{2\sqrt a }}\sqrt {\dfrac{{ab}}{{{{(a - b)}^2}}}} $ với $0 < a < b$ ta được
Rút gọn biểu thức $\sqrt {\dfrac{{{a^4}}}{{{b^2}}}} $ với $b \ne 0$ ta được
Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được
Rút gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt {{x^3} + 2{x^2}} }}{{\sqrt {x + 2} }}$ với $x > 0$ ta được
Với $x > 5$, cho biểu thức $A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 5x} }}{{\sqrt {x - 5} }}$ và $B = x$.
Có bao nhiêu giá trị của $x$ để $A = B$.
Với $x,y \ge 0;x \ne y$, rút gọn biểu thức $A = \dfrac{{x - \sqrt {xy} }}{{x - y}}$ ta được
Giá trị của biểu thức \((\sqrt {12} + 2\sqrt {27} )\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \sqrt {150} \) là:
Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\) ta được:
Khẳng định nào sau đây đúng về nghiệm ${x_0}$ của phương trình \(\dfrac{{9x - 7}}{{\sqrt {7x + 5} }} = \sqrt {7x + 5} \)
Nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x - 20} + \sqrt {x - 5} - \dfrac{1}{3}\sqrt {9x - 45} = 4\) là
