Đề bài

Giá trị nhỏ nhất của \(A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \) là:

• A. \(3\)
• B. \(\dfrac{{31}}{4}\)
• C. \(\dfrac{{ - \sqrt {31} }}{4}\)
• D. \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Phương pháp giải

Biến đổi: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = \left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\)

Đặt \({x^2} + 3x = y\)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ẩn \(y.\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: \(x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10 \ge 0\)
\(\begin{array}{l}A = \sqrt {x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) + 10} \\\,\,\,\,\, = \sqrt {\left[ {x\left( {x + 3} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right] + 10} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) + 10} \end{array}\)
Đặt \({x^2} + 3x = y\)
Khi đó, \(A\) trở thành:

\(\begin{array}{l}A = \sqrt {{y^2} + 2y + 10} \\A = \sqrt {{{\left( {y + 1} \right)}^2} + 9}  \ge \sqrt 9 \\ \Rightarrow A \ge 3\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(y =  - 1\)

Suy ra:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 3x =  - 1\\ hay \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vậy GTNN của A bằng 3 khi \(x = \frac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}\)

Đáp án : A