Đề bài

Cho hàm số bậc bốn $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)$ là:

• A. $5$
• B. $3$
• C. $7$
• D. $11$

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm của hàm số $g\left( x \right)$.

- Giải phương trình $g'\left( x \right) = 0$ và kết luận số cực trị của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 6x} \right)f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right)$.

Cho $g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3{x^2} + 6x = 0\\f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\\f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.$

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình (*) tương đương với: $\left[ \begin{array}{l}{x^3} + 3{x^2} = a < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^3} + 3{x^2} = b \in \left( {0;4} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\\{x^3} + 3{x^2} = c < 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.$

Xét hàm số $y = {x^3} + 3{x^2}$ ta có: $y' = 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.$.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

+ Phương trình (1) có 1 nghiệm khác $0; - 2.$

+ Phương trình (2) có 3 nghiệm phân biệt khác $0; - 2.$

+ Phương trình (3) có 1 nghiệm khác $0; - 2.$

Do đó phương trình $f'\left( x \right) = 0$ có 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số $y = g\left( x \right)$ có 7 cực trị.

Đáp án : C