Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị $f'\left( x \right)$ như hình vẽ bên. Số điểm cực đại của hàm số $g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + x} \right)$ là:

• A. $2$
• B. $4$
• C. $5$
• D. $3$

Phương pháp giải

- Tính $g'\left( x \right)$.

- Giải phương trình $g'\left( x \right) = 0$.

- Lập BBT và suy ra số điểm cực đại của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

$\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( { - {x^2} + x} \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \left( { - 2x + 1} \right)f'\left( { - {x^2} + x} \right)\\g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0\end{array} \right.\end{array}$

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ ta có $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

$\Rightarrow f'\left( { - {x^2} + x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + x = 0\\ - {x^2} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Suy ra phương trình $g'\left( x \right) = 0$ có 3 nghiệm đơn phân biệt $x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1$.

Chọn $x = 2$ ta có $g'\left( 2 \right) =  - 3f'\left( { - 2} \right) < 0$, qua các nghiệm $x = \dfrac{1}{2},\,\,x = 0,\,\,x = 1$ thì $g'\left( x \right)$ đổi dấu.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy hàm số $y = g\left( x \right)$ có 2 điểm cực đại $x = 0,\,\,x = 1$.

Đáp án : A