Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có đồ thị $f\left( x \right)$ như hình vẽ. Hàm số $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right)$ đạt cực tiểu tại điểm ${x_0}$. Giá trị  ${x_0}$ thuộc khoảng nào sau đây?

• A. $\left( {1;3} \right)$
• B. $\left( {0;2} \right)$
• C. $\left( {-1;1} \right)$
• D. $\left( {3; + \infty } \right)$

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm hàm số $g\left( x \right)$.

- Giải phương trình $g'\left( x \right) = 0$.

- Lập BBT của hàm số $g\left( x \right)$ và suy ra điểm cực tiểu của hàm số.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: $g\left( x \right) = f\left( {{x^3} + x} \right)$ $\Rightarrow g'\left( x \right) = \left( {3{x^2} + 1} \right)f'\left( {{x^3} + x} \right)$.

$g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {3{x^2} + 1} \right)f'\left( {{x^3} + x} \right) = 0$ $\Leftrightarrow f'\left( {{x^3} + x} \right) = 0$.

Dựa vào đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ ta thấy hàm số có hai điểm cực trị $x = 0,\,\,x = 2$.

Do đó $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^3} + x = 0\\{x^3} + x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$.

Chọn $x = 2$ ta có $g'\left( 2 \right) = 13f'\left( {10} \right) < 0$, các nghiệm $x = 0,\,\,\,x = 1$ là các nghiệm đơn nên qua các nghiệm này $g'\left( x \right)$ đổi dấu.

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy điểm cực tiểu của hàm số $y = g\left( x \right)$ là ${x_0} = 0 \in \left( { - 1;1} \right)$.

Đáp án : C