Đề bài

Cho hàm số đa thức $f(x)$ có đạo hàm tràm trên $R$. Biết $f(0) = 0$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như hình sau.

Hàm số $g(x) = \left| {4f(x) + {x^2}} \right|$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

• A. $\left( {4; + \infty } \right)$.
• B. $\left( {0;4} \right)$.
• C. $\left( { - \infty ; - 2} \right)$.
• D. $\left( { - 2;0} \right)$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt $h\left( x \right) = 4f\left( x \right) + {x^2}$ ta có $h'\left( x \right) = 4f'\left( x \right) + 2x = 4\left[ {f'\left( x \right) + \dfrac{x}{2}} \right]$.

Số nghiệm của phương trình $h'\left( x \right) = 0$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - \dfrac{x}{2}$.

Vẽ đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ và đường thẳng $y =  - \dfrac{x}{2}$ trên cùng mặt phẳng tọa độ ta có:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\\x = 4\end{array} \right.$.

Khi đó ta có BBT hàm số $y = h\left( x \right)$:

Khi đó ta suy ra được BBT hàm số $g\left( x \right) = \left| {h\left( x \right)} \right|$ như sau:

Dựa vào BBT và các đáp án ta thấy hàm số $g\left( x \right)$ đồng biến trên $\left( {0;4} \right)$.

Đáp án : B