Đề bài

Cho phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\) với \(a,b,c\) là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
• B. Phương trình luôn có nghiệm kép
• C. Chưa đủ điều kiện để kết luận
• D. Phương trình luôn vô nghiệm.

Phương pháp giải

+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá $\Delta $.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Phương trình \({x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0\)

Có $\Delta  = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$

$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$

Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$

Nên $\Delta  < 0$ với mọi $a,b,c$

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.

Đáp án : D