Đề bài

Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng $360$ dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp $1$ vượt mức $12\% $ , xí nghiệp $2$  vượt mức $10\% $ , do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng $400$ dụng cụ. Tính số dụng cụ xí nghiệp $2$ phải làm theo kế hoạch

• A. \(160\) dụng cụ
• B. \(200\) dụng cụ.
• C. \(120\) dụng cụ.
• D. \(240\) dụng cụ.

Phương pháp giải

Bước 1: Đặt ẩn số và điều kiện.

- Xác định hai đại lượng cần tìm (thường là số lượng ban đầu hoặc kế hoạch của mỗi đối tượng).

- Đặt các ẩn số, ví dụ $x$ và $y$, cho hai đại lượng đó.

- Nêu rõ đơn vị và điều kiện của các ẩn (ví dụ: $x, y$ là số dương, số nguyên, v.v.).

Bước 2: Lập hệ phương trình.

- Phương trình 1 (Tổng ban đầu/kế hoạch): Dựa vào thông tin về tổng số lượng hoặc tổng giá trị ban đầu/theo kế hoạch của hai đại lượng để lập phương trình thứ nhất (có dạng $x + y = \text{Tổng}$).

- Phương trình 2 (Thay đổi và tổng mới): Dựa vào thông tin về sự thay đổi của mỗi đại lượng (tăng/giảm bao nhiêu phần trăm, hoặc một lượng cụ thể) và tổng số lượng/giá trị sau khi thay đổi để lập phương trình thứ hai.

Nếu có sự thay đổi phần trăm, biến đổi phần trăm thành số thập phân hoặc phân số (ví dụ: tăng $p\%$ thì thành $(1 + \frac{p}{100}) \times \text{ẩn}$, giảm $q\%$ thì thành $(1 - \frac{q}{100}) \times \text{ẩn}$).

Tổng hợp các giá trị đã thay đổi để bằng tổng mới.

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Sử dụng một trong các phương pháp giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Phương pháp thế: Rút gọn một ẩn từ một phương trình và thế vào phương trình còn lại để đưa về phương trình một ẩn.

- Phương pháp cộng đại số: Nhân các phương trình với các số thích hợp để hệ số của một ẩn trong hai phương trình trở thành đối nhau hoặc giống nhau, sau đó cộng hoặc trừ hai phương trình để khử ẩn đó.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận.

- So sánh kết quả tìm được với điều kiện của ẩn và bối cảnh thực tế của bài toán để đảm bảo tính hợp lý.

- Trả lời câu hỏi của đề bài một cách rõ ràng và đầy đủ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ lần lượt là : \(x,y\),

(\(x,y \in {N^*}\) \(x,y < 360\), dụng cụ).

Số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ làm được khi vượt mức lần lượt là \(112\% x\) và \(110\% y\) ( dụng cụ).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right. \)

Giải hệ phương trình ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 200\\y = 160\end{array} \right.\).

Vậy xí nghiệp $1$  phải làm \(200\) dụng cụ, xí nghiệp $2$ phải làm \(160\) dụng cụ.

Đáp án : A

Mở rộng

Dạng bài toán này liên quan trực tiếp đến việc sử dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ Biến số (Variables): Đại lượng chưa biết được ký hiệu bằng các chữ cái (ví dụ: $x, y$).

+ Phương trình (Equations): Biểu thức toán học thể hiện sự bằng nhau giữa hai vế, thường chứa các biến số.

+ Hệ phương trình: Tập hợp hai hay nhiều phương trình có chung các biến số, và mục tiêu là tìm giá trị của các biến số đó thỏa mãn tất cả các phương trình trong hệ.

+ Phần trăm (Percentages): Đại lượng thể hiện một phần của tổng thể dưới dạng phân số của 100. Trong bài toán này, phần trăm được dùng để mô tả sự vượt mức kế hoạch. Ví dụ, vượt mức $12\%$ nghĩa là làm được $100\% + 12\% = 112\%$ so với kế hoạch.

Trong bài toán cụ thể này, lý thuyết về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn được ứng dụng như sau:

+ Xác định biến: Bài toán gọi số dụng cụ xí nghiệp $1$ và xí nghiệp $2$ phải làm theo kế hoạch lần lượt là $x$ và $y$. Điều kiện cho biến là $x, y \in N^*$ (số tự nhiên khác 0) và $x, y < 360$ (vì tổng là 360).

+ Thiết lập phương trình thứ nhất: Dựa trên thông tin "Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng $360$ dụng cụ", ta có phương trình đầu tiên thể hiện tổng số dụng cụ theo kế hoạch: $x + y = 360$.

+ Thiết lập phương trình thứ hai: Dựa trên thông tin thực tế "xí nghiệp $1$ vượt mức $12%$, xí nghiệp $2$ vượt mức $10\%$, do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng $400$ dụng cụ".

Số dụng cụ xí nghiệp $1$ thực làm là $112\%x$ (hoặc $1.12x$).

Số dụng cụ xí nghiệp $2$ thực làm là $110\%y$ (hoặc $1.10y$).

Tổng số dụng cụ thực làm là $400$, vậy ta có phương trình thứ hai: $112\%x + 110\%y = 400$ (hoặc $1.12x + 1.10y = 400$).

+ Hệ phương trình: Hai phương trình trên tạo thành hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 360\\112\% x + 110\% y = 400\end{array} \right.$.

+ Giải hệ phương trình: Bằng cách giải hệ phương trình này (ví dụ, sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số), ta tìm được giá trị của $x$ và $y$. Lời giải cung cấp kết quả là $x = 200$ và $y = 160$.