Đề bài

Nghiệm $\left( {x;y} \right)$ của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{7}{{\sqrt x  - 7}} - \dfrac{4}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{5}{3}\\\dfrac{5}{{\sqrt x  - 7}} + \dfrac{3}{{\sqrt y  + 6}} = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$ có tính chất là:

• A. $x;y$ nguyên dương
• B. $x;y$ là số vô tỉ
• C. $x;y$ nguyên âm
• D. $x$ nguyên dương, $y$ không âm

Phương pháp giải

Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Điều kiện: $x \ge 0;x \ne 7;y \ge 0$

Đặt $\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = a;\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = b$ ta được $\left\{ \begin{array}{l}7a - 4b = \dfrac{5}{3}\\5a + 3b = 2\dfrac{1}{6}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\20a + 12b = \dfrac{{26}}{3}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}21a - 12b = 5\\41a = \dfrac{{41}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\21.\dfrac{1}{3} - 12b = 5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = \dfrac{1}{6}\end{array} \right.$

Trả lại biến ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{\sqrt x  - 7}} = \dfrac{1}{3}\\\dfrac{1}{{\sqrt y  + 6}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  - 7 = 3\\\sqrt y  + 6 = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\left( {TM} \right)$

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {100;0} \right)$.

Đáp án : D