Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$ trong đó \(A\left( {1;1} \right),B\left( { - 1;1} \right),C\left( { - 1; - 1} \right),D\left( {1; - 1} \right)\). Xét phép quay \(Q\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)\). Giả sử hình vuông $A'B'C'D'$  là ảnh của $ABCD$ qua phép quay đó. Gọi $S$ là diện tích hình vuông $A'B'C'D'$ nằm ngoài hình vuông $ABCD$ . Tính $S$.

• A. \(S = 6 - 4\sqrt 2 \) 
• B. \(S = 12 - 8\sqrt 2 \) 
• C. \(S = 1\) 
• D. \(S = \sqrt 2 \) 

Phương pháp giải

Vẽ hình, xác định hình vuông $A'B'C'D'$ .

Xác định phần diện tích hình vuông $A'B'C'D'$  nằm ngoài hình vuông $ABCD$ và tính diện tích đó.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\({Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( A \right) = A',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( B \right) = B',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( C \right) = C',{Q_{\left( {O;\dfrac{\pi }{4}} \right)}}\left( D \right) = D'\) như hình vẽ.

Ta có: \(OA' = OA = \sqrt 2  \Rightarrow A'H = \sqrt 2  - 1\)

Dễ thấy tam giác $A'EF$  là tam giác vuông cân tại $A'$  \( \Rightarrow EF = 2A'H = 2\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta A'EF}} = \dfrac{1}{2}A'H.EF = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt 2  - 1} \right).2\left( {\sqrt 2  - 1} \right) = {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2}\)

Vậy diện tích hình vuông $A'B'C'D'$  nằm ngoài hình vuông $ABCD$ là \(S = 4{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 4\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right) = 12 - 8\sqrt 2 \)

Đáp án : B