Đề bài

Cho $x + y \ge 1.$ Chọn khẳng định đúng?

• A. ${x^2} + {y^2} \ge \dfrac{1}{2}$
• B. ${x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}$
• C. ${x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}$
• D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp giải

+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ $x + y \ge 1$, bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} \ge 1$  (1)

Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$  (2)

Cộng từng vế (1) với (2) được: $2{x^2} + 2{y^2} \ge 1.$

Chia hai vế cho $2$ được: ${x^2} + {y^2} \ge \dfrac{1}{2}.$

Dấu “=” xảy ra khi $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x = y\end{array} \right.$ suy ra $x = y = \dfrac{1}{2}$.

Đáp án : A