Đề bài

Cho \(x + y \ge 1.\) Chọn khẳng định đúng?

• A. \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{1}{2}\)
• B. \({x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}\)
• C. \({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}\)
• D. Cả A, B, C đều đúng

Phương pháp giải

+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.

+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ \(x + y \ge 1\), bình phương hai vế (hai vế đều dương) được \({x^2} + 2xy + {y^2} \ge 1\)  (1)

Từ \({(x - y)^2} \ge 0\) suy ra \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.\)  (2)

Cộng từng vế (1) với (2) được: \(2{x^2} + 2{y^2} \ge 1.\)

Chia hai vế cho \(2\) được: \({x^2} + {y^2} \ge \dfrac{1}{2}.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\{\left( {x - y} \right)^2} = 0\end{array} \right. \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x = y\end{array} \right.\) suy ra \( x = y = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án : A