Đề bài

Với mọi $a,b,c$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le 2ab + 2bc - 2ca$
• B. ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca$
• C. ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ab + 2bc - 2ca$
• D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp giải

+) Phương pháp xét hiệu $P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)$

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu $P$ với $0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có:

$\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right)\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2bc + 2ca\\ = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2a\left( { - b} \right) + 2c\left( { - b} \right) + 2ac\\ = {\left[ {a + \left( { - b} \right) + c} \right]^2}\\ = {\left( {a - b + c} \right)^2} \ge 0,\forall a,b,c\end{array}$

Do đó ${a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {2ab + 2bc - 2ca} \right) \ge 0$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 2ab + 2bc - 2ca$

Dấu “=” xảy ra khi $a - b + c = 0$.

Đáp án : B