Đề bài

Tìm số tự nhiên \(x\) để \(D = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}}\) có giá trị là một số nguyên.

• A. \(x = 4\)
• B. \(x = 16\)
• C. \(x = 9\)
• D. \(x = 10\)

Phương pháp giải

Đầu tiên ta tách biểu thức đã cho về dạng một số nguyên cộng với một phân thức có tử là một số nguyên.

Để D là một số nguyên thì phân thức được tách phải là số nguyên hay tử phải chia hết cho mẫu, hay mẫu là ước của tử. từ đó tìm ra \(x\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(D = \dfrac{{2\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{{2\sqrt x  + 6 - 7}}{{\sqrt x  + 3}} = \dfrac{{2\left( {\sqrt x  + 3} \right) - 7}}{{\sqrt x  + 3}} = 2 - \dfrac{7}{{\sqrt x  + 3}}\)

Để \(D \in Z\) thì \(\dfrac{7}{{\sqrt x  + 3}}\) phải thuộc Z do đó \(\sqrt x  + 3\) là ước của \(7\). Vì \(\left( {\sqrt x  + 3} \right) > 0\) nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(\sqrt x  + 3 = 1 \Leftrightarrow \sqrt x  =  - 2\) (vô lý)

Trường hợp 1: \(\sqrt x  + 3 = 7 \Leftrightarrow \sqrt x  = 4 \Leftrightarrow x = 16\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 16\) thì \(D \in Z\) (khi đó \(D = 1\)).

Đáp án : B