Đề bài

Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có đồ thị nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng ?

• A. \(y = 2{x^2} - 3x + 1\) 
• B. \(y = {x^3} + x - 5\) 
• C. \(y = {x^3}\tan x\) 
• D. \(y = \sin x\sqrt {{x^2} + 1} \) 

Phương pháp giải

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Giả sử đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng. Điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) \Rightarrow M'\left( { - x; - y} \right)\) là điểm đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ cũng thuộc đồ thị hàm số  \(y = f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow  - y = f\left( { - x} \right) \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right) \Rightarrow y = f\left( x \right)\) là hàm số lẻ.

Vậy hàm số lẻ nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng.

Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án D có : \(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1}  =  - \sin x\sqrt {{x^2} + 1}  =  - f\left( x \right)\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \sin x\sqrt {{x^2} + 1} \) là hàm số lẻ và nhận gốc tọa độ $O$ là tâm đối xứng

Đáp án : D