Đề bài

Cho hai điểm $B$ và $C$ cố định trên đường tròn $\left( {O;R} \right)$. Điểm $A$ thay đổi trên $\left( {O;R} \right)$. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$ và $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua đường thẳng $BC$ . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

• A. $D$ luôn nằm trên đường tròn $\left( {O';R} \right)$ đối xứng của $\left( {O;R} \right)$ qua đường thẳng $BC$ 
• B. $D$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định song song với $BC$
• C. $D$ luôn nằm trên đường trung trực của cạnh $BC$ .
• D. $D$ luôn nằm trên đường tròn $\left( O;R \right)$.

Phương pháp giải

Vẽ hình và dựa vào các kiến thức về tứ giác nội tiếp.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trong một tam giác, điểm đối xứng của trực tâm $H$ qua một cạnh của nó thì nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Đây là một kiến thức cơ bản. Tuy nhiên ta có thể chứng minh lại bài toán này như sau:

Kẻ các đường cao $AM,BN,CP$ và gọi $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$.

Ta có tứ giác $ANHP$ là một tứ giác nội tiếp, suy ra: $\widehat {PAN} + \widehat {PHN} = {180^o}$ hay $\widehat {BAC} + \widehat {BHC} = {180^o}$.

Mặt khác, có $D$ là điểm đối xứng của $H$ qua $BC$ nên $\widehat {BDC} = \widehat {BHC}$.

Do đó: $\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^o}$.

Suy ra $D$ nằm trên đường tròn $\left( O \right)$ ngoại tiếp $\Delta ABC$.

Đáp án : D