Đề bài

Gọi $\left( {x;y} \right)$ là nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình $-4x + 3y = 8$ . Tính $x + y$

• A. $5$
• B. $6$
• C. $7$
• D. $4$

Phương pháp giải

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của  
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của  bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$. 
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \( - 4x + 3y = 8\) hay \( y = \dfrac{{4x + 8}}{3} = x + \dfrac{{x + 8}}{3}\)

Đặt \(\dfrac{{x + 8}}{3} = t \) suy ra \( x = 3t - 8\)

Do đó \(y = 3t - 8 + t = 4t - 8\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3t - 8\\y = 4t - 8\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\end{array} \right. $ hay $ \left\{ \begin{array}{l}3t - 8 > 0\\4t - 8 > 0\end{array} \right. $

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}t > \dfrac{8}{3}\\t > 2\end{array} \right.$

Do đó $t > \dfrac{8}{3}$ mà $t \in \mathbb{Z} $ suy ra $ t \ge 3$.

Nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 3.3 - 8\\y = 4.3 - 8\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$

Suy ra $x + y = 5$.

Đáp án : A