Đề bài

Tìm nghiệm nguyên âm lớn nhất của phương trình $ - 5x + 2y = 7$.

• A. \(\left( { - 7; - 14} \right)\)
• B. \(\left( { - 1; - 2} \right)\)
• C. \(\left( { - 3; - 4} \right)\)
• D. $\left( { - 5; - 9} \right)$

Phương pháp giải

+ Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ ax + by = c$, ta làm như sau:

Bước 1: Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chia hết của các ẩn
Bước 2:  Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn $x$ ) theo ẩn kia.
Bước 3:  Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của  
Bước 4:  Đặt điều kiện để phân bố trong biểu thức của  bằng một số nguyên , ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn $y$ và $t$. 
-  Cứ tiếp tục như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới dạng một đa thức với các hệ số nguyên

+ Dựa vào điều kiện nguyên âm để tìm được $x;y$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \( - 5x + 2y = 7 \)

\(2y = 7 + 5x \)

\( y = \dfrac{{5x + 7}}{2} \)

\(y = 2x + \dfrac{{x + 7}}{2}\)

Đặt \(\dfrac{{x + 7}}{2} = t \) suy ra \( x = 2t - 7 \)

\(y = 2.\left( {2t - 7} \right) + t \)

\(y = 5t - 14\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)

Nên nghiệm nguyên của phương trình là $\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 7\\y = 5t - 14\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)$

Vì $x,y$ nguyên âm nên \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \)

suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}2t - 7 < 0\\5t - 14 < 0\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}t < \dfrac{7}{2}\\t < \dfrac{{14}}{5}\end{array} \right. \)

\( t < \dfrac{{14}}{5}\)

mà \(t \in \mathbb{Z} \) nên \(t \le 2\).

Nghiệm nguyên âm lớn nhất nhất của phương trình đạt được khi \(t = 2 \) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2.2 - 7=  - 3\\y = 5.2 - 14=  - 4\end{array} \right. \)

Vậy nghiệm cần tìm là \(\left( { - 3; - 4} \right)\)

Đáp án : C