Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đồ thị của hàm số \(y = \sin x\). Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến đồ thị đó thành chính nó

• A. Không có phép nào
• B. Có một phép duy nhất
• C. Chỉ có hai phép
• D. Có vô số phép

Phương pháp giải

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\).

$\sin a=0 \Leftrightarrow a=k\pi$

$\cos a =1\Leftrightarrow a=k2\pi$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cách 1:

Ta có: \(y = \sin x = \sin \left( {x + k2\pi } \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x + k2\pi \\y' = y\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {k2\pi ;0} \right)\)

Do \(k \in Z\) nên có vô số véc tơ \(\overrightarrow u \) như trên.

Cách 2: Gọi vectơ tịnh tiến là \(\overrightarrow v = \left( {a;b} \right)\). Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x' = x + a\\
y' = y + b
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = x' - a\\
y = y' - b
\end{array} \right.\)

Do \(y = \sin x\) nên \(y' - b = \sin \left( {x' - a} \right)\) \( \Leftrightarrow y' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\). Để \(\overrightarrow v \) biến đồ thị thành chính nó thì \(y' = \sin x'\) \(\forall x'\) \( \Leftrightarrow \sin x' = \sin \left( {x' - a} \right) + b\) \(\forall x'\).

Với \(x = 0 \Rightarrow 0 = - \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = b\).

Với \(x = \pi \Rightarrow 0 = \sin a + b \Leftrightarrow \sin a = - b\).

Với \(x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow 1 = \cos a + b \Leftrightarrow \cos a = 1 - b\).

Từ đó, ta có: \( b = 0;a = k2\pi \)

Đáp án : D

Chú ý

Một số em có thể sẽ chọn nhầm đáp án B vì chỉ xác định được một véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {2\pi ;0} \right)\) là sai.