Đề bài

Tìm $m$ để hàm số \(y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\) có \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

• A. \(m \le \sqrt 2 \)           
• B. \(m \le 2\) 
• C. \(m \le 0\) 
• D. \(m < 0\) 

Phương pháp giải

- Tính đạo hàm của hàm số.

- Giải bpt \(y' \le 0\,\,\forall x \in R\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}y = \dfrac{{m{x^3}}}{3} - m{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 1\\ \Rightarrow y' = m{x^2} - 2mx + 3m - 1\\y' \le 0,\forall x \in R \Rightarrow m{x^2} - 2mx + 3m - 1 \le 0,\forall x \in R\end{array}\)

TH1: $m = 0,$ khi đó \(BPT \Leftrightarrow  - 1 \le 0\) , đúng \(\forall x \in R\)

TH2: $\begin{array}{l}m \ne 0 \Leftrightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta ' = {m^2} - m\left( {3m - 1} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\ - 2{m^2} + m \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \end{array}$ $\Leftrightarrow m < 0$

Kết hợp cả 2 trường hợp ta có \(m \le 0\) là những giá trị cần tìm.

Đáp án : C