Đề bài

Cho biểu thức

$B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Câu 1

Tìm giá trị lớn nhất của $B$

A.

$1$

B.

$2$

C.

$3$

D.

$\dfrac{1}{4}$

Đáp án : D

Phương pháp giải

Thêm bớt hạng tử để đưa biểu thức về hằng đẳng thức để đánh giá.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $B = \sqrt x  - x$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Khi đó $B = \sqrt x  - x =  - \left( {x - \sqrt x } \right) = \dfrac{1}{4} - \left( {x - \sqrt x  + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$

Nhận thây $\dfrac{1}{4} - {\left( {\sqrt x  - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{1}{4}$ với $x \ge 0;x \ne 1$

Dấu “=” xảy ra khi

$\sqrt x  - \dfrac{1}{2} = 0 $

$ \sqrt x  = \dfrac{1}{2} \\x = \dfrac{1}{4}\,\,\left( {TM} \right)$

Vậy giá trị lớn nhất của $B$ là $\dfrac{1}{4}$ khi và chỉ khi $x = \dfrac{1}{4}$.

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Tìm $x$ để $B > 0$

A.

$x > 1$

B.

$x < 2$

C.

$0 < x < 1$

D.

$x \le 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải

-Đưa về phương trình tích rồi xét các trường hợp

-So sánh với điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Theo câu trước ta có  $B = \sqrt x  - x$.

Xét $B > 0$ hay

$\sqrt x  - x > 0 \\ \sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0$

Với $x \ge 0$, $x \ne 1$ ta có $\sqrt x  \ge 0$ nên

$\sqrt x \left( {1 - \sqrt x } \right) > 0 \\ \left\{ \begin{array}{l}1 - \sqrt x  > 0\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x  < 1\\x \ne 0\end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\x \ne 0\end{array} \right.$

Kết hợp điều  kiện ta có $0 < x < 1$.

Chú ý

Học sinh khi giải bất phương trình thường quên kết hợp điều kiện ban đầu dẫn đến sai nghiệm.

---

Câu 3

Rút gọn biểu thức $B$ ta được 

A.

$B = x - \sqrt x $

B.

$B = \sqrt x  - x$

C.

$B = \sqrt x  + x$

D.

$B = x + 2\sqrt x $

Đáp án : B

Phương pháp giải

- Xác định mẫu thức chung

- Quy đồng mẫu thức các phân thức

-Cộng trừ các phân thức đã quy đồng

Chú ý sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức và các phép biến đổi đơn giản đã biết

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có $B = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{x + 2\sqrt x  + 1}}} \right).\dfrac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{2}$$ = \left( {\dfrac{{\sqrt x  - 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}} - \dfrac{{\sqrt x  + 2}}{{{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \left( {\dfrac{{\left( {\sqrt x  - 2} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{\left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$

$ = \dfrac{{x - \sqrt x  - 2 - x - \sqrt x  + 2}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right){{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}}}{2}$$ = \dfrac{{ - 2\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{2} = \sqrt x  - x$

Vậy $B = \sqrt x  - x$.

---