Đề bài

Cho phương trình: $\dfrac{1}{{{x^2} + 3x + 2}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} = \dfrac{1}{3}$.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên là:

• A. $- 48$
• B. $48$
• C. $- 50$
• D. $50$

Phương pháp giải

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

$\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right), a \ne b$.

Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: ${x^2} + 3x + 2 = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$

${x^2} + 5x + 6 = \left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)$

${x^2} + 7x + 12 = \left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)$

${x^2} + 9x + 20 = \left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)$

Khi đó:

$\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{1}{3}$

ĐKXĐ: $x \ne - 1; - 2; - 3; - 4; - 5$ .

Khi đó:

$\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 4}} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{3}$

$\dfrac{{1\left( {x + 5} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{3\left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)}}$

$3\left[ {x + 5 - \left( {x + 1} \right)} \right] = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 5} \right)$

$3\left( {x + 5 - x - 1} \right) = {x^2} + 6x + 5$

${x^2} + 6x - 7 = 0$

$\left( {x - 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0$

Suy ra $x - 1 = 0$ hoặc $x + 7 = 0$

Hay $x = 1\left( {TM} \right)$ hoặc $x = - 7\left( {TM} \right)$

$S = \left\{ {1; - 7} \right\}$ nên tổng bình phương các nghiệm là: ${1^2} + {\left( { - 7} \right)^2} = 50$

Đáp án : D