Đề bài

Với \(a \ge 0,b \ge 0,a \ne b\), rút gọn biểu thức  \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)  ta được:

• A. $\dfrac{{\sqrt {ab} }}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$
• B. $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$
• C. $\dfrac{{2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$
• D. $\dfrac{{\sqrt {ab}  - 2a}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

Phương pháp giải

Để phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử ta

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt {ab}  = \sqrt a .\sqrt b $

-Sử dụng ${\left( {\sqrt A } \right)^2} = A$ với $A \ge 0$.

-Sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$, ${a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \(\dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\sqrt {{a^3}}  + \sqrt {{b^3}} }}{{a - b}}\)$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left[ {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - \sqrt a .\sqrt b  + {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}}$

$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\left( {a - \sqrt {ab}  + b} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)}}$$ = \dfrac{{a - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} - \dfrac{{a - \sqrt {ab}  + b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \dfrac{{a - b - a + \sqrt {ab}  - b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }} = \dfrac{{\sqrt {ab}  - 2b}}{{\sqrt a  - \sqrt b }}$

Đáp án : B

Chú ý

Cần linh hoạt trong cách rút gọn từng phân số để tránh mất thời gian khi quy đồng mẫu số.