Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ và $D$ là trung điểm $AC.$ Từ $A$ kẻ đường vuông góc với $BD,$ cắt $BC$ tại $E.$ Chọn đáp án đúng.

• A. $AE = 3DE$
• B. $AE = \dfrac{3}{2}DE$       
• C. $AE = 2DE$
• D. $AE = DE$

Phương pháp giải

- Từ $C$ dựng đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $AE$ tại $G$. Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $F$ sao cho $DE = DF$.

- Chứng minh $\Delta ABD = \Delta CAG$  (g.c.g).

- Chứng minh $\Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)$

- Chứng minh $\Delta ADF = \Delta CDE\,\,(c.g.c)$ suy ra $\widehat {AFD} = \widehat {CED}$ (hai góc tương ứng) suy ra $AF//EC.$ Lập luận để chứng minh tam giác $AEF$ cân tại $E$ từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ $C$ dựng đường thẳng vuông góc với $AC$ cắt $AE$ tại $G$. Trên tia đối của tia $DE$ lấy điểm $F$ sao cho $DE = DF$. Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $BD.$

$\Delta ABD$ vuông tại $A$ nên $\widehat {ABD} + \widehat {ADB} = {90^o}$

$\Delta AID$ vuông tại $I$ nên $\widehat {DAI} + \widehat {ADI} = {90^o}$

Mà $\widehat {ADB} = \widehat {ADI}$ nên $\widehat {ABD} = \widehat {DAI}$ hay $\widehat {ABD} = \widehat {CAG}$

Xét $\Delta ABD$ và $\Delta CAG$ có:

$\widehat {BAD} = \widehat {ACG} = {90^o}$

$AB = CA$ (vì $\Delta ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {ABD} = \widehat {CAG}\,\,(cmt)$

$\Rightarrow \Delta ABD = \Delta CAG$ (g.c.g).

$\Rightarrow AD = CG$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $AD = CD$ (vì $D$ là trung điểm của $AC$) nên $CD = CG$

$\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $\widehat {ACB} = \dfrac{{{{180}^o} - \widehat A}}{2} = \dfrac{{{{180}^o} - {{90}^o}}}{2} = {45^o}$ hay $\widehat {DCE} = {45^o}.$

Mặt khác $\widehat {DCE} + \widehat {GCE} = \widehat {DCG}$  $\Rightarrow \widehat {GCE} = \widehat {DCG} - \widehat {DCE} = {90^o} - {45^o} = {45^o}.$

Xét $\Delta DCE$ và $\Delta GCE$ có:

$EC$ chung

$CD = CG\,\,(cmt)$

$\widehat {DCE} = \widehat {GCE} = {45^o}$

$\Rightarrow \Delta DCE = \Delta GCE\,\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {CED} = \widehat {CEG}$ (hai cạnh tương ứng)    (1)

Xét $\Delta ADF$ và $\Delta CDE$ có:

$AD = CD$ (vì $D$ là trung điểm $AC$)

$DF = DE\,$ (cách dựng)

$\widehat {ADF} = \widehat {CDE}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta ADF = \Delta CDE\,(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {AFD} = \widehat {CED}$ (hai góc tương ứng)       (2)

Mà $\widehat {AFD}$ và $\widehat {CED}$ ở vị trí so le trong nên $AF//EC.$

Vì $AF//EC$ nên $\widehat {GEC} = \widehat {EAF}$ (hai góc đồng vị)      (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\widehat {EAF} = \widehat {EFA}$, tam giác $AEF$ cân tại $E$ nên $AE = EF$    (4)

Mà $DE = DF$ (theo cách dựng) nên $EF = 2DE$    (5)

Từ (4) và (5) ta có: $AE = 2DE$.

Đáp án : C