Đề bài

Cho \(G\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\). \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AC,\,AB.\) Chọn câu đúng.

• A. \(GD > GE > GF\)
• B. \(GD < GE < GF\)
• C. \(GD > GE = GF\)
• D. \(GD = GE = GF\)

Phương pháp giải

+ Chứng minh \(BD = DC = CE = EA = AF = FB\)

+ Chứng minh \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\); \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\) từ đó suy ra \(AD = BE = CF\).

+ Sử dụng định lý về tính chất ba đường trung tuyến của một tam giác: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy” để suy ra mối quan hệ giữa \(GD; GE; GF\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,AC,\,AB\) nên \(BD = DC = \dfrac{1}{2}BC;\) \(CE = EA = \dfrac{1}{2}AC;\) \(AF = FB = \dfrac{1}{2}AB.\)

Mặt khác: \(BC = AC = AB\) (do tam giác \(ABC\) là tam giác đều)

Do đó \(BD = DC = CE = EA = AF = FB\).

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta AFC\) có: AB = AC; \(\widehat A\) chung; AE = AF.

Vậy \(\Delta AEB = AFC\,(c.g.c)\) suy ra: \(BE = CF\,\) (hai cạnh tương ứng) \(\left( 1 \right)\)

Chứng minh tương tự ta có \(\Delta BEC = ADC\,(c.g.c)\) suy ra \(BE = AD\) (hai cạnh tương ứng) \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(AD = BE = CF\left( 3 \right)\)

Theo đề bài \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(GA = \dfrac{2}{3}AD;\,\,GB = \dfrac{2}{3}BE;\,\,GC = \dfrac{2}{3}CF\)\( \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AD;\,\,GE = \dfrac{1}{3}BE;\,\,GF = \dfrac{1}{3}CF\)

Kết hợp với (3) ta được: \(GD = GE = GF\).

Đáp án : D