Đề bài

Cho dãy số: \(3;18;48;93;153; \ldots ..\) Số \(11703\) là số hạng thứ bao nhiêu của dãy.

• A. \(36\)
• B. \(38\)
• C. \(40\)
• D. \(39\)

Phương pháp giải

Từ dãy số ta phát hiện ra quy luật của dãy là: Số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của \(15\) với số thứ tự của số liền trước trong dãy.

Từ đó, ta lập luận để có số thứ tự của \(11703\) trong dãy.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta thấy:

\(\begin{array}{l}18 = 3 + 15 \times 1\\48 = 18 + 15 \times 2\\93 = 48 + 15 \times 3\\...\end{array}\)

Từ dãy số ta phá hiện ra qui luật của dãy là: Số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của \(15\) với số thứ tự của số liền trước trong dãy.

Gọi \(n\) là số thứ tự của số hạng \(11703,\) ta có:

\(3 + 15 \times 1 + 15 \times 2 + 15 \times 3 + ... + \left( {n - 1} \right) \times 15 = 11703\)

\(15 \times \left[ {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + \left( {n - 1} \right)} \right] = 11700\)

\(\begin{array}{l}15 \times \dfrac{{n - 1}}{2} \times n = 1170\\\left( {n - 1} \right) \times n = 1560\\\left( {n - 1} \right) \times n = 39 \times 40\end{array}\)

Suy ra: \(n = 40.\)

Số \(11703\) là số hạng thứ \(40\) trong dãy.

Đáp án : C

Mở rộng

Bài toán này liên quan đến dãy số có quy luật phức tạp, cụ thể là số liền sau bằng số liền trước cộng với tích của $15$ với số thứ tự của số liền trước trong dãy.

Qui luật của dãy $3; 18; 48; 93; 153; \ldots$ được xác định là: số liền sau bằng số liền trước cộng $15$ lần số thứ tự của số liền trước. Ví dụ: $18 = 3 + 15 \times 1$; $48 = 18 + 15 \times 2$.

Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ ($u_n$) là: $u_n = 3 + 15 \times [1 + 2 + \ldots + (n-1)]$.

Áp dụng công thức tổng dãy số cộng, ta có: $u_n = 3 + 15 \times \frac{(n-1)n}{2}$.

Để tìm số thứ tự của $11703$, ta đặt $3 + 15 \times \frac{(n-1)n}{2} = 11703$.

Ta được $(n-1)n = 1560$.

Vì $1560 = 39 \times 40$, suy ra $n = 40$.

Vậy, số $11703$ là số hạng thứ $40$ của dãy.

Phương pháp giải chung cho dạng bài này:

Xác định quy luật: Tìm hiểu sự chênh lệch giữa các số hạng liên tiếp để phát hiện quy luật gia tăng của dãy.

Thiết lập công thức tổng quát $u_n$: Xây dựng công thức biểu diễn số hạng thứ $n$ dựa trên số hạng đầu tiên và tổng các phần tăng thêm theo quy luật đã tìm.

Giải phương trình: Đặt công thức $u_n$ bằng giá trị số hạng cần tìm vị trí và giải phương trình để xác định $n$.