Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;3} \right),\,\,B\left( {2;7} \right)\) và \(C\left( { - \,3; - \,8} \right).\) Tìm toạ độ chân đường cao \(A'\) kẻ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC.\)

• A. \(A'\left( {1; - \,4} \right).\)           
• B. \(A'\left( { - \,1;4} \right).\)
• C. \(A'\left( {1;4} \right).\)    
• D. \(A'\left( {4;1} \right).\)

Phương pháp giải

\(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nếu \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(A'\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - \,5; - \,15} \right)\\\overrightarrow {BA'}  = \left( {x - 2;y - 7} \right)\end{array} \right..\)

Từ giả thiết, ta có \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nếu \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  = 0}&{\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {BA'}  = k\overrightarrow {BC} }&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

\( \bullet \) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - \,5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y = 13\)

\( \bullet \) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 15}}\)\( \Leftrightarrow 3x - y =  - 1\)

Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\3x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\)

Đáp án : C