Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Tính \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right).\)

A.

\(P = - 1.\)
B.

\(P = 3{a^2}.\)
C.

\(P = - 3{a^2}.\)
D.

\(P = 2{a^2}.\)

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a .\overrightarrow b + \overrightarrow a .\overrightarrow c \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Từ giả thiết suy ra \(AC = a\sqrt 2 .\)

Ta có \(P = \overrightarrow {AC} .\left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2}\)

\( = - CA.CD\cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) - A{C^2} = - a\sqrt 2 .a.\cos {45^0} - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2}.\)

Đáp án : C

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a\). Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A.

\(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB} = {a^2}\).
B.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - {a^2}\).
C.

\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC} = {a^2}\).
D.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD} = 0\).

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh \(a\), với đường cao \(BK\). Câu nào sau đây đúng?

A.

\(\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} = {a^2}\)
B.

\(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CK} = \dfrac{{{a^2}}}{8}\)
C.

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)
D.

\(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CK} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\)

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a.\) Tính \(P = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right).\)

A.

\(P = 2\sqrt 2 a.\)
B.

\(P = 2{a^2}.\)
C.

\(P = {a^2}.\)
D.

\(P = - 2{a^2}.\)

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Như đã biết, nếu có một lực \(\overrightarrow F \) tác động vào một vật tại điểm M và làm cho vật đó di chuyển một quãng đường MN thì công A sinh ra được tính theo công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow {MN} \), trong đó lực F có độ lớn tính bằng Newton, quãng đường MN tính bằng mét và công A tính bằng Jun (H.2.28). Do đó, nếu dùng một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn không đổi để làm một vật di chuyển một quãng đường không đổi thì công sinh ra sẽ lớn nhất khi lực tác động cùng hướng với chuyển động của vật. Hãy giải thích vì sao. Kết quả trên có thể được áp dụng như thế nào khi kéo (hoặc đẩy) các vật nặng?

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {A'C} .\overrightarrow {B'D'} = 0\).

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Trong Ví dụ 10, hãy tính các tích vô hướng \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {AS} .\overrightarrow {CD} \)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Hãy nhắc lại công thức xác định tích vô hướng của hai vectơ trong mặt phẳng.

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) có cùng độ dài bằng 1. Biết rằng góc giữa hai vectơ đó là \({45^0}\), hãy tính:
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \);
b) \(\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - 2\overrightarrow b } \right)\)
c) \({\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{4}\).
B. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).
C. \(\frac{{{a^2}}}{3}\).
D. \({a^2}\).

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Gọi \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) và \({M_0}\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) là một điểm thuộc \(\left( \alpha \right)\).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ hai vectơ \(\overrightarrow n \) và \(\overrightarrow {{M_o}M} \) có mối quan hệ gì?

b) Một điểm M(x; y; z) thuộc \(\left( \alpha \right)\) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài bằng 3cm (hình 12).

a, Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \)

b, Tính \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right|,\left| {\overrightarrow {A'D'} } \right|\). Cos(\(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {A'D'} \))

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính

a) \(\overrightarrow {A'B} .\overrightarrow {D'C'} \); \(\overrightarrow {D'A} .\overrightarrow {BC} \);

b) Các góc \(\left( {\overrightarrow {A'D} , \overrightarrow {B'C'} } \right)\); \(\left( {\overrightarrow {AD',} \overrightarrow {BD} } \right)\).

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto \(\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})\) và \(\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})\). Hãy biểu diễn các vecto \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) theo ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) và tính tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \)

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \(\overrightarrow a = (0;1;1)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;1;0)\). Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) bằng:

A. \(60^\circ \)

B. \(120^\circ \)

C. \(150^\circ \)

D. \(30^\circ \)

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’ và CC’. Tính góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {AD'} \)

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Một em nhỏ cân nặng m = 25 kg trượt trên cầu trượt dài 3,5m. Biết rằng, cầu trượt có góc nghiêng so với phương nằm ngang là \(30^\circ \) (Hình 26).

a) Tính độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ, cho biết vectơ gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn 9,8\(m/{s^2}\)

b) Cho biết công A (J) sinh bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) được tính bởi công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \). Hãy tính công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt.

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng 1.

a) Tính các tích vô hướng: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} \), \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CC'} \)

b) Tính góc \((\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC'} )\) (kết quả làm tròn đến phút)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Trong không gian, cho \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) thoả mãn \(|\overrightarrow u | = 2\) , \(|\overrightarrow v | = 3\). Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow u \), \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow v \) (Hình 24). Giả sử \(\widehat {BAC} = 60^\circ \)

a) Tính góc \((\overrightarrow u ,\overrightarrow v )\)

b) Trong mặt phẳng (ABC), tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′. Xác định góc \((\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {B'D'} ),(\overrightarrow {A'A} ,\overrightarrow {CB'} )\)

Xem lời giải >>

Bài 20 :

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mặt phẳng.

b) Làm thế nào để định nghĩa góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong không gian?

Xem lời giải >>

Bài 21 :

Cho A(2; –1; 1), B(–1; 3; –1), C(5; –3; 4). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) có giá trị là

A. 48.

B. –48.

C. 52.

D. –52.

Xem lời giải >>

Bài 22 :

Cho hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) tạo với nhau góc \(60^\circ \). Biết rằng \(|\overrightarrow u | = 2\) và \(|\overrightarrow v | = 4\). Tính \(|\overrightarrow u + \overrightarrow v |\).

Xem lời giải >>

Bài 23 :

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 2a. Tích vô hướng \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \) bằng:

A.

\({a^2}\)
B.

\(2{a^2}\)
C.

\(4{a^2}\)
D.

\(8{a^2}\)

Xem lời giải >>

Bài 24 :

Công thức tính tích vô hướng của 2 vecto là?

A.

\(\overrightarrow {a.} \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow {a.} \overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {a,} \overrightarrow b } \right)\)
B.

\(\overrightarrow {a.} \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {a,} \overrightarrow b } \right)\)
C.

\(\overrightarrow {a.} \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\sin \left( {\overrightarrow {a,} \overrightarrow b } \right)\)
D.

\(\overrightarrow {a.} \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {a,} \overrightarrow b } \right)\)

Xem lời giải >>

Bài 25 :

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) và cho biết \(\widehat {BAD} = \widehat {BAA'} = \widehat {DAA'} = {60^ \circ }\). Tính các tích vô hướng sau:

a) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \);

b) \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DC} \);

c) \(\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {AC} \).

Xem lời giải >>

Bài 26 :

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài các cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng sau theo a:

a) \(\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {B'D'} \)

b) \(\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {B'C'} \)

c) \(\overrightarrow {A'B'} \cdot \overrightarrow {AC'} \)

Xem lời giải >>

Bài 27 :

Trong không gian, cho hai vectơ \(\vec a,\vec b\) khác \(\vec 0\). Từ một điểm \(O\) tuỳ ý trong không gian, vẽ các vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} ,\overrightarrow {{b^\prime }} \) sao cho \(\overrightarrow {{a^\prime }} = \vec a\), \(\overrightarrow {{b^\prime }} = \vec b\). (P) là mặt phẳng chứa giá của hai vectơ \(\overrightarrow {{a^\prime }} \) và \(\overrightarrow {{b^\prime }} \) (Hình 2.21).

a) Trong mặt phẳng \((P)\), hãy viết biểu thức tính \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \).

b) Hãy so sánh \(\overrightarrow {{a^\prime }} \cdot \overrightarrow {{b^\prime }} \) với \(|\vec a| \cdot |\vec b| \cdot \cos (\vec a,\vec b)\).

Xem lời giải >>

Bài 28 :

Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính:

a) \(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AH} ;\)

b) \(\overrightarrow {AF} .\overrightarrow {EG} ;\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {FE} .\)

Xem lời giải >>

Bài 29 :

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\), biết \(SA = AB = BC = a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AC\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {SM} \cdot \overrightarrow {BC} \)bằng

A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\).

B. \({a^2}\).

C. \( - {a^2}\).

D. \( - \frac{{{a^2}}}{2}\).

Xem lời giải >>

Bài 30 :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là a. Khi đó, \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} \) bằng

A.

\({a^2}\)
B.

\(0\)
C.

\(a\)
D.

\(\frac{{{a^2}}}{2}\)

Xem lời giải >>