Đề bài

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} .\)

• A. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{2}.\)
• B. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{c^2} + {b^2}}}{2}.\)            
• C. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}.\)
• D. \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}.\)

Phương pháp giải

Biểu diễn véc tơ \(\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {BC} \) qua hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \), từ đó suy ra tích vô hướng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\,\overrightarrow {AM} \).

Khi đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC} \) \( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AB} } \right).\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \dfrac{{{b^2} - {c^2}}}{2}\).

Đáp án : A