Đề bài

Cho $a$ và $b$ là các số thực khác $0.$ Tìm hệ thức liên hệ giữa $a$ và $b$ để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0\\4{x^2} + 5b\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại $x = 0.$

• A. $a = 5b$
• B. $a = 10b$
• C. $a = b$
• D. $a = 2b.$

Phương pháp giải

Bước 1: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\) và \(f\left( 0\right)\)

Bước 2: Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Bước 1:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {ax + 1}  - 1}}{x} \\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax + 1 - 1}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1}  + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{a}{{\sqrt {ax + 1}  + 1}}\\ = \dfrac{a}{{\sqrt {a.0 + 1}  + 1}} = \dfrac{a}{2}\\f\left( 0 \right) = 5b\end{array}\)

Bước 2:

 Để hàm số liên tục tại $x = 0$ thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a}{2} = 5b \Leftrightarrow a = 10b\)

Đáp án : B