Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right) =\) \( \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\tan x}}{x}\,\,\,khi\,\,x \ne 0,x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\\0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0\end{array} \right.\). Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên các khoảng nào sau đây?

• A. \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\)
• B. \(\left( { - \infty ;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
• C. \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4}} \right)\)
• D. $R$

Phương pháp giải

Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 0,$ sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\) .

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\) 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\left. \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\tan x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\dfrac{1}{{\cos x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x}.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\cos x}} = 1.\dfrac{1}{1} = 1\\f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right\} \\ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) \ne f\left( 0 \right)\)

\( \Rightarrow \) hàm số gián đoạn tại điểm $x = 0,$ do đó loại các đáp án B, C, D.

Đáp án : A