Đề bài

Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|\) (với \(m\) là tham số thực) có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

• A. $2$
• B. $3$
• C. $5$
• D. $4$

Phương pháp giải

Số điểm cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) = số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) + số giao điểm của đồ thị hàm số  với trục hoành. (Hàm đa thức hoặc hàm số xác định \(\forall x \in \mathbb{R}\))

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m\) ta có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} + 1 - x.2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = g\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị.

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - m\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 0 \Leftrightarrow  - m{x^2} + x - m = 0\), phương trình có \(\Delta  = 1 - 4{m^2}\) chưa xác định dấu nên có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left| {\dfrac{x}{{{x^2} + 1}} - m} \right|\) có tối đa \(2 + 2 = 4\) cực trị.

Đáp án : D