Đề bài

Cho các đường tròn \(\left( {A;10\,{\rm{cm}}} \right),{\rm{ }}\left( {B;15\,{\rm{cm}}} \right),{\rm{ }}\left( {C;15\,cm} \right)\)  tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại \(A'\). Đường tròn \(\left( A \right)\)  tiếp xúc với đường tròn \(\left( B \right)\) và \(\left( C \right)\) lần lượt tại \(C'\)  và \(B'.\)

Câu 1

Chọn câu đúng nhất.

A.

\(AA'\) là tiếp tuyến chung của đường tròn \(\left( B \right)\) và \(\left( C \right).\)

B.

\(AA' = 25\,cm\)

C.

\(AA' = 15\,cm\)

D.

Cả A và B đều đúng

Đáp án : A

Phương pháp giải

+ Sử dụng cách chứng minh tiếp tuyến: Đường thẳng \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A\) nếu \(d \bot OA\) tại \(A.\)

+ Sử dụng định lý Pytago để tính \(AA'\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

 +) Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:

\(AB = BC' + C'A = 25\,cm;{\rm{ }}AC = AB' + B'C = 25\,cm;\) \({\rm{ }}BC = BA' + A'C = 30cm\) và \(A'\)  là trung điểm của \(BC\) (vì \(A'B = A'C = 15cm\))

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\)  có \(AA'\)  là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

\( \Rightarrow AA' \bot BC\)

\( \Rightarrow AA'\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C)

Xét tam giác \(AA'C\)  vuông tại \(A'\)  có:

\(\;A'{A^2}\; = {\rm{ }}A{C^2}\; - {\rm{ }}A'{C^2}\; = {\rm{ }}{25^2} - {\rm{ }}{15^2}\; = 400\)\( \Rightarrow A'A{\rm{ }} = {\rm{ }}20\,cm\)

---

Xem thêm các câu hỏi cùng đoạn

Câu 2

Tính diện tích tam giác \(A'B'C'.\)

A.

\(36\,c{m^2}\)

B.

\(72\,c{m^2}\)

C.

\(144\,c{m^2}\)

D.

\(96\,c{m^2}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải

+ Sử dụng định lý Ta-lét

+ Sử dụng công thức tính diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao và cạnh đáy tương ứng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có: \(\dfrac{{AC'}}{{AB}} = \dfrac{{AB'}}{{AC}} = \dfrac{{10}}{{25}} = \dfrac{2}{5}\) 

\( \Rightarrow B'C'{\rm{ }}//{\rm{ }}BC\)  do đó  \(B'C' \bot AA'\)

Lại có: \(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{{AC'}}{{AB}} \Rightarrow \dfrac{{B'C'}}{{30}} = \dfrac{2}{5} \Leftrightarrow B'C' = 12\,cm\)

 Xét \(\Delta ABA'\)  có \(B'C'{\rm{ }}//{\rm{ }}BC\) nên theo định lý Ta-let ta có \(\dfrac{{AH}}{{A'A}} = \dfrac{{BC'}}{{BA}} \Rightarrow \dfrac{{AH}}{{20}} = \dfrac{{15}}{{25}} \Rightarrow AH = 12\,cm\) (do theo câu trước thì \(AA' = 20\,cm\) )

Diện tích tam giác \(A'B'C'\) là: \(S = \dfrac{1}{2}B'C'.AH = \dfrac{1}{2}.12.12 = 72\,\left( {c{m^2}} \right)\)

---