Đề bài

Cho hai đường tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\)tiếp xúc ngoài tại \(A\). Kẻ các đường kính \(AOB;AO'C\). Gọi \(DE\) là tiếp tuyến chung của hai đường  tròn  \(\left( {D \in \left( O \right);E \in \left( {O'} \right)} \right)\). Gọi \(M\) là giao điểm của \(BD\) và \(CE\). Tính diện tích tứ giác \(ADME\) biết \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) và \(OA = 8\,cm\)

• A. \(12\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)
• B. \( \dfrac{64}{3}\sqrt 3  \,\,c{m^2}\)
• C. \( \dfrac{32}{3}\sqrt 3 \,\,c{m^2}\)
• D. \(36\,\,c{m^2}\)

Phương pháp giải

Sử dụng  tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài và chiều rộng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\left( O \right)\) có \(OD = OA \Rightarrow \Delta OAD\) cân tại \(O \Rightarrow \widehat {ODA} = \widehat {OAD}\)

Xét \(\left( {O'} \right)\) có \(O'E = O'A \Rightarrow \Delta O'EB\) cân tại \(O' \Rightarrow \widehat {O'EA} = \widehat {O'AE}\)

Mà \(\widehat O + \widehat {O'} = 360^\circ  - \widehat {O'ED} - \widehat {ODE} = 180^\circ \)

\( \Leftrightarrow 180^\circ  - \widehat {ODA} - \widehat {OAD} + 180^\circ  - \widehat {O'EA} - \widehat {O'AE} = 180^\circ  \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {OAD} + \widehat {O'AE}} \right) = 180^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {OAD} + \widehat {O'AE} = 90^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {DAE} = 90^\circ  \Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại \(A\).

Mà \(\widehat {BDA} = 90^\circ \) ( vì tam giác \(BAD\) có cạnh \(AB\) là đường kính của \(\left( O \right)\)và \(D \in \left( O \right)\) ) nên \(BD \bot AD \Rightarrow \widehat {MDA} = 90^\circ \)

Tương tự ta có \(\widehat {MEA} = 90^\circ \) .\(\)\(\)

Nên tứ giác \(DMEA\) là hình chữ nhật.

Xét tam giác \(OAD\) cân tại \(O\) có \(\widehat {DOA} = 60^\circ \) nên \(\Delta DOA\) đều, suy ra \(OA = AD = 8\,cm\) và \(\widehat {ODA} = 60^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ADE} = 30^\circ \). Xét tam giác \(ADE\) ta có \(EA = AD.\tan \widehat {EDA} = 8.\tan 30^\circ  = \dfrac{8}{3}\sqrt 3 \)

\({S_{DMEA}} = AD.AE = 8.\dfrac{8}{3}\sqrt 3  = \dfrac{64}{3}\sqrt 3 \,\,c{m^2}\).

Đáp án : B